Question

已知n∈N⁺，求證：2ⁿ＞1+2+3+…+n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專(zhuān)題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先證明n=1時(shí)，等號(hào)成立，再設(shè)n=k時(shí)，等號(hào)成立，證明n=k+1時(shí)，等號(hào)成立．

解答： 證明：（1）n=1時(shí)，左邊=2，右邊=1，不等式成立；
（2）設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即2^k≥1+2+3+…+k=

k(1+k)

2

，
則n=k+1時(shí)，2^k+1≥k（k+1）=

(k+1)[1+(k+1)]

2

，即n=k+1時(shí)，不等式成立．
由（1）（2）可知，2ⁿ＞1+2+3+…+n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．