Question

9．如圖，棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段A₁B₁上運(yùn)動(dòng)，且|EF|=1，點(diǎn)G在線段AD上運(yùn)動(dòng)，H是線段CD的中點(diǎn)，設(shè)DG=x（0＜x＜2），則三棱錐G-EFH的體積V（x）的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由已知求出S_△EFH=$\sqrt{2}$，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出D到平面EFH的距離d=$\frac{|\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，由此求出三棱錐G-EFH的體積V（x）=$\frac{1}{3}x$，0＜x＜2．從而能得到三棱錐G-EFH的體積V（x）的大致圖象．

解答 解：∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段A₁B₁上運(yùn)動(dòng)，
且|EF|=1，點(diǎn)G在線段AD上運(yùn)動(dòng)，H是線段CD的中點(diǎn)，
∴S_△EFH=$\frac{1}{2}×|EF|×{B}_{1}C$=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（2，0，2），C（0，2，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
設(shè)平面DCB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∵DG=x（0＜x＜2），∴$\overrightarrow{DG}$=（x，0，0），
∴D到平面EFH的距離d=$\frac{|\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，
∵0＜x＜2，∴0＜d＜$\sqrt{2}$，
∴三棱錐G-EFH的體積V（x）=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}x$，0＜x＜2．
∴三棱錐G-EFH的體積V（x）的圖象大致如右圖所示：
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．