Question

已知A，B為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上兩動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點，直線AB過點F₂（c，0），且不垂直于x軸，△ABF₁的周長為8，且橢圓的短軸長為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點P為橢圓C的左端點，連接PA并延長交直線l：x=4于點M．求證：直線BM過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用已知條件以及橢圓的定義，求出a，b，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PA：x=m₁y-2，由

x=m1y-2 x2 4 + y2 3 =1

求出A的坐標，同理求出B的坐標，由A，F(xiàn)₂，B三點共線化簡A、B坐標，求出M坐標以及BM的方程，利用直線系得到定點坐標，

解答： （本小題滿分（12分），（Ⅰ）小問（4分），（Ⅱ）小問8分）
解：（Ⅰ）依題意有：

4a=8 2b=2 3

⇒

a=2 b= 3

，
則橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）由橢圓方程可知P（-2，0），F(xiàn)₂（1，0），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
設(shè)直線PA：x=m₁y-2，由

x=m1y-2 x2 4 + y2 3 =1

得(3

m

2 1

+4)y2-12m1y=0，從而y1=

12m1

3 m 2 1 +4

，x1=m1y1-2=

6 m 2 1 -8

3 m 2 1 +4

，即點A(

6 m 2 1 -8

3 m 2 1 +4

，

12m1

3 m 2 1 +4

)
同理設(shè)直線PB：x=m₂y-2，可得B(

6 m 2 2 -8

3 m 2 2 +4

，

12m2

3 m 2 2 +4

)…（7分）
由A，F(xiàn)₂，B三點共線可得kAF2=kBF2，即

y1

x1-1

=

y2

x2-1

，代入A，B兩點坐標化簡可得

m1

m 2 1 -4

=

m2

m 2 2 -4

⇒(m1-m2)(m1m2+4)=0⇒m₁m₂+4=0…（9分）
直線l：x=4，可得點M(4，

6

m1

)，即M(4，-

3

2

m2)
從而直線BM的方程為y=

12m2 3 m 2 2 +4 + 3 2 m2

6 m 2 2 -8 3 m 2 2 +4 -4

(x-4)-

3

2

m2
化簡得y=-

3

4

m2(x-4)-

3

2

m2，即y=-

3

4

m2(x-2)，
從而直線BM過定點（2，0）．…（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線系方程的應(yīng)用，橢圓的標準方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．