Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x．
（1）若a=3，求f（x）的增區(qū)間；
（2）若a＜0，且函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若a=-

1

2

且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可；
（2）由函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，分離參數(shù)化為函數(shù)最值即可；
（3）f（x）=-

1

2

x+b化為b=lnx+

1

4

x2-

3

2

x，令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x（1≤x≤4），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最值，借助圖象可得結(jié)果；

解答： 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
a=3時，f′（x）=

1

x

-3x-2=

-(3x-1)(x+1)

x

，
令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

3

，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，

1

3

]．
（2）f′（x）=

1

x

-ax-2，
由函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴

1

x

-ax-2＜0，即a＞

1

x2

-

2

x

，
而

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1≥-1，
∴a＞-1，又a＜0，
∴-1＜a＜0．
（3）a=-

1

2

時，f（x）=lnx+

1

4

x²-2x，則f（x）=-

1

2

x+b即為b=lnx+

1

4

x2-

3

2

x，
令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x（1≤x≤4），則g′（x）=

1

x

+

1

2

x-

3

2

=

(x-1)(x-2)

2x

，
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)2＜x＜4時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
∴g（x）_min=g（2）=ln2-2，
又g（1）=-

5

4

，g（4）=ln4-2，g（1）＜g（4），
∴l(xiāng)n2-2＜b≤-

5

4

，即實數(shù)b的取值范圍是ln2-2＜b≤-

5

4

．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查方程的根，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．