Question

函數(shù)F（x）在[a，b]上有定義，若對于任意x₁、x₂在定義域內(nèi)有F（

x1+x2

2

）≤0.5[F（x₁）+F（x₂）]，則稱F（x）在[a，b]有性質(zhì)P．設(shè)F（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出一下命題：
A．F（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
B．F（x²）在[1，

3

]上有性質(zhì)P；
C．若F（x）在x=2時取得最大值1，則F（x）=1，x∈[1，3]；
D．對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有F（

x1+x2+x3+x4

4

）≤0.25[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]．
其中，真命題有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于A，可舉反例，比如分段函數(shù)，加以判斷；對于B，同樣舉反例，比如一次函數(shù)，加以判斷；對于C，可令2=

x+(4-x)

2

，應用性質(zhì)P，根據(jù)F（x）在x=2時取得最大值1，列出不等式組，運用兩邊夾法則，可判斷結(jié)論；對于D，可令

x1+x2+x3+x4

4

=

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

，反復運用性質(zhì)P，即可判斷結(jié)論是否成立．

解答： 解：對于A，舉反例：F（x）=

( 1 2 )x，1≤x＜3 2，x=3

在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但F（x）在[1，3]上圖象不是連續(xù)不斷的，故A不正確；
對于B，舉反例：F（x）=-x，F(xiàn)（x）在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但F（x²）=-x²在[1，

3

]上不滿足性質(zhì)P，故B不正確；
對于C，在[1，3]上，F(xiàn)（2）=F[

x+(4-x)

2

]≤

1

2

[F（x）+F（4-x）]，
∵F（x）在x=2時取得最大值1，
∴

F(x)+F(4-x)≥2 F(x)≤F(x)max=F(2)=1 F(4-x)≤F(x)max=F(2)=1

，
∴F（x）=1，即對任意的x∈[1，3]，有F（x）=1．
故C正確；
對于D，對任意的x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有
F（

x1+x2+x3+x4

4

）=F（

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

）≤

1

2

[F(

x1+x2

2

)+F(

x3+x4

2

)]
≤

1

2

[

1

2

（（F（x₁）+F（x₂））+

1

2

（F（x₃）+F（x₄））]=

1

4

[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]，
即F（

x1+x2+x3+x4

4

）≤

1

4

[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]．
故D正確．
故答案為：CD．

點評：本題是一道新定義題，實質(zhì)上是考查函數(shù)的凹凸性及應用，解題的關(guān)鍵是理解這一性質(zhì)，靈活運用這一性質(zhì)，可通過舉反例，以及反復運用條件通過推理得到新結(jié)論，同時考查兩邊夾法則的運用，是一道難題．