Question

已知向量

a

=（2sin（x+

π

12

），cos（x-

π

12

），

b

=（cos（x+

π

12

），2sin（x-

π

12

）），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2cos2x；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位長度，再向下平移1個單位長度得到的，當x∈[0，

π

2

]時，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標運算與三角函數(shù)中的恒等變換應用可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，從而可求f（x）的最小正周期；
（2）易求g（x）=f（x+

π

4

）-1=

3

sin（2x+

π

3

）-2，x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，可求得y=g（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-2cos²x
=2sin（x+

π

12

）•cos（x+

π

12

）+2sin（x-

π

12

）•cos（x-

π

12

）-2cos²x
=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-2cos²x
=

3

sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）g（x）=f（x+

π

4

）-1
=

3

sin[2（x+

π

4

）-

π

6

]-1-1
=

3

sin（2x+

π

3

）-2，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴g（x）∈[-

7

2

，

3

-2]，
∴g（x）_max=

3

-2，g（x）_min=-

7

2

．

點評：本題考查向量數(shù)量積的坐標運算與三角函數(shù)中的恒等變換應用，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，屬于中檔題．