Question

如圖，正三棱錐A-BCD放置在平面α上，AD=kCD，O是底面△BCD的中心，E是CD的中點，下列說法中，錯誤的是（　　）

• A、k＞

  3

  3

• B、當(dāng)AD=CD=1時，將三棱錐繞直線AO旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何 體的體積是

  6 π

  27

• C、動點P在截面ABE上運動，且到點B的距離與到點側(cè)面ACD的距離相等，則點P在拋物線弧上
• D、當(dāng)k=

  2

  2

  ，CD=1時，將該三棱錐繞棱CD轉(zhuǎn)動，則三棱錐在平面α上投影面積的最大值是

  2

  2

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：

分析：A選項可以通過AB和BO的長度比較來判斷k的取值范圍，B選項可以通過求圓錐面積算出，C選項可以根據(jù)拋物線的性質(zhì)確定，D選項可以通過投影面積的求法和適當(dāng)?shù)姆趴s來比較．

解答： 解：A選項，AD=AB＞BO，假設(shè)BC邊長為1，連接OC，則有∠OBC=∠OCB=30°，過D做BC的垂線交BC于H，則可知OC=DO=BO=2OH
∴BO=

2

3

BE，易求出BE=

3

2

∴BO=

3

3

∴k＞

3

3

，A正確
B選項，旋轉(zhuǎn)一周所得圖形其實就是個圓錐形，底邊圓的半徑為r=BO=

3

3

，高A0可由直角三角形ABO求出，AO=

6

3

∴V_體積=

1

3

×hS=

1

3

×

6

3

×π×（

3

3

）²=

6

27

π，B正確
C選項，通過分析可以看出，點P到面ACD的距離其實就是點P到線AE的距離，因為面ABE垂直面AEC，且交線為AE
∴通過拋物線的定義可知，拋物線到焦點的距離等于到準線的距離
∴P在拋物線上，C正確
D選項，易求出三角形BCD的面積為：S_BCD=

3

4

，三角形ADC的面積為S_ADC=

2

4

，當(dāng)繞CD轉(zhuǎn)動時，我們假設(shè)轉(zhuǎn)動的角度為a，則有面BCD在α的射影面積為：S_BCD投影=

3

4

cosa，通過圖象分析，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)a小于一定角度時，面BCD和面ADC的投影面積是重合的，所以他們的射影面積和要小于當(dāng)面ADC垂直面α?xí)r一起轉(zhuǎn)動的射影面積之和．當(dāng)面ADC垂直面α，然后轉(zhuǎn)動的角度為a時，它的射影面積為S_ADC投影=

2

4

sina，所以他們的射影面積之和要小于：

3

4

cosa+

2

4

sina=

5

4

sin（a+β）≤

5

4

＜

2

2

，所以D選項是錯誤的．
故選D

點評：幾何題先作圖，然后根據(jù)各圖形的特點做合理的運算