Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

1+x2

（a＞0）的圖象為曲線C．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線C的切線的斜率k的最小值為-1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)曲線C的切線的斜率k的最小值為-1，得到f'（x）≥-1，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

a(1+x2)-2ax2

(1+x2)2

=

a(1-x2)

(1+x2)2

，
∵a＞0，
∴由f′（x）＜0，解得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1）．
（2）若曲線C的切線的斜率k的最小值為-1，
即f′（x）≥-1，
∴a（1-x²）≥-（1+x²）²，
則a（1-x²）+（1+x²）²≥0，
設(shè)g（x）=a（1-x²）+（1+x²）²
=x⁴+（2-a）x²+1+a
=（x²+1-

a

2

）²+1+a-（1-

a

2

）²，
=（x²+1-

a

2

）²+2a-

a2

4

，
則g（x）的最小值為0，
∴2a-

a2

4

=0，
即a=0或a=8，
∵a＞0，
∴a=8．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強，難度較大．