Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x．
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）≤a對x∈[1，+∞]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（x）=lnx-x，得f′（x）=

1

x

-1；令f′（x）=0，解得：x=1．從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到f（x）的極大值f（1）=-1．
（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)為：f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），再分別討論①當a≤0時，②當a＞0時的情況，從而綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=

1

x

-1；
令f′（x）=0，
解得：x=1．
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）的極大值f（1）=-1．
（2）f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），
①當a≤0時，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)，即f（x）≤f（1）=-1，
∴-1≤a≤0；
②當a＞0時，當x∈（0，a）時，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
（�。┊�0＜a≤1時，在x∈[1，+∞）時f（x）是減函數(shù)，即f（x）≤f（1）=-1，
∴0＜a≤1；
（ⅱ） 當a＞1時，當x∈（1，a）時，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）≤f（a）=alna-a，
即alna-a≤a，
∴1＜a≤e²，
綜上：-1≤a≤e²．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，函數(shù)的恒成立問題，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．