Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求a₁，d和a_n；
（2）求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用

a

2 1

=S1=a1，以及等差數(shù)列前3項(xiàng)的和，直接求a₁，d和a_n；
（2）通過(guò)裂項(xiàng)法求出數(shù)列的和，然后利用極限的運(yùn)算法則求

lim

n→∞

T_n．

解答： 解：（1）

a

2 1

=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1

a

2 2

=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，∴d=-1，2，
當(dāng)d=-1時(shí)，a₂=0不滿足條件，舍去．
因此d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N^*
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和，極限的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．