Question

設f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）-g（x）在[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“關聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為f（x）與g（x）的“關聯(lián)區(qū)間”．若f（x）=

1

3

x³-x²-x與g（x）=2x+b的“關聯(lián)區(qū)間”是[-3，0]，則b的取值范圍是（　　）

• A、[-9，0]
• B、[0，

  5

  3

  ]
• C、[0，

  5

  3

  ）
• D、[-9，

  5

  3

  ）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的表達式，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值和單調性，根據(jù)關聯(lián)函數(shù)的定義建立不等式關系即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-x²-x與g（x）=2x+b，
∴設y=m（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-x²-x-2x-b=

1

3

x³-x²-3x-b，
則m′（x）=x²-2x-3，
由m′（x）=x²-2x-3=0，解得m=-1或m=3，
∵f（x）與g（x）在[-3，0]上是“關聯(lián)函數(shù)”，
∴當x=-1是函數(shù)m（x）在[-3，0]上的極大值，同時也是最大值，
要使m（x）=f（x）-g（x）在[-3，0]上有兩個不同的零點，
則

m(0)≤0 m(-1)＞0 m(-3)≤0

．即

-b≤0 5 3 -b＞0 -9-b≤0

，
則

b≥0 b＜ 5 3 b≥-9

，解得0≤b＜

5

3

，
故b的取值范圍是[0，

5

3

），
故選：C

點評：本題考查函數(shù)“關聯(lián)函數(shù)”的定義，導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，綜合性較強，設計的知識點較多．