Question

若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足約束條件

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12，最小值為3，則實(shí)數(shù)k的值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域，然后分k=0，k＜0和k＞0三種情況討論使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)的最優(yōu)解，聯(lián)立方程組后求解k的值．

解答： 解：由約束條件

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，作出可行域如圖，

可行域?yàn)椤鰽BC的邊界及其內(nèi)部，求解直線(xiàn)交點(diǎn)得：A（1，1），B（5，2），C（1，

22

5

）．
由目標(biāo)函數(shù)z=kx+y，得y=-kx+z，
若k=0，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為C（1，

22

5

），最大值為

22

5

，不合題意；
若k＜0，則-k＞0，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為C（1，

22

5

），
當(dāng)0＜-k≤

1

4

，即-

1

4

≤k＜0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解為A（1，1），
聯(lián)立

12=k+ 22 5 3=k+1

，k無(wú)解，
當(dāng)-k＞

1

4

，即k＜-

1

4

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解為B（5，2），
聯(lián)立

12=k+ 22 5 3=5k+2

，k無(wú)解．
若k＞0，則-k＜0，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最小值時(shí)的最優(yōu)解為A（1，1），
若-

3

5

≤-k＜0，即0＜k≤

3

5

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為C（1，

22

5

），
聯(lián)立

3=k+1 12=k+ 12 5

，k無(wú)解．
若-k＜-

3

5

，即k＞

3

5

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為B（5，2），
聯(lián)立

3=k+1 12=5k+2

，解得k=2．
綜上，使目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12，最小值為3的實(shí)數(shù)k的值為2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．