Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b（a，b∈R）在[-1，1]上是減函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)

1

2

＜a＜1，若對(duì)任意實(shí)數(shù)u、v∈[a-1，a]，不等式|f（u）-f（v）|≤

29

12

恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）=x²+ax-a-2≤0恒成立，由此能求出a≥-

1

2

．
（2）由已知得

1

2

＜a＜1，-

1

2

＜a-1＜0，[a-1，a]?[-1，1]，f（x）在[a-1，a]上是減函數(shù)，從而得到f_max-f_min≤

29

12

，由此能求出實(shí)數(shù)a的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b，
∴f′（x）=x²+ax-a-2，
由函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b（a，b∈R）在[-1，1]上是減函數(shù)得：
x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）=x²+ax-a-2≤0恒成立．（3分）
∴

f′(1)=1+a-a-2≤0 f′(-1)=1-a-a-2≤0

，
解得a≥-

1

2

．（6分）
（2）∵

1

2

＜a＜1，∴-

1

2

＜a-1＜0，
∴[a-1，a]?[-1，1]，
故f（x）在[a-1，a]上是減函數(shù)，（7分）
∴f_max=f（a-1）=

1

3

（a-1）³+

1

2

a（a-1）²-（a+2）（a-1）+b，
f_min=f（a）=

1

3

a³+

1

2

a³-a（a+2）+b．
依條件有f_max-f_min≤

29

12

，
∴f_max-f_min=-2a²+

5

2

a+

5

3

≤

29

12

，（11分）
即8a²-10a+3≥0，
a≥

3

4

或a≤

1

2

，
∵

1

2

＜a＜1，∴a_min=

3

4

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．