Question

設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，且a₂+a₅=2a_m，則m等于（　�。�

• A、6
• B、7
• C、8
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先假設(shè)q=1，分別利用首項(xiàng)表示出前3、6、及9項(xiàng)的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)S₃+S₆=2S₉得到關(guān)于q的方程，根據(jù)q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．然后求解m．

解答： 解：若q=1，則有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
但a₁≠0，即得S₃+S₆≠2S₉，與題設(shè)矛盾，q≠1．
又依題意S₃+S₆=2S₉
可得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

a1(1-q9)

1-q

整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0
∴q³=-

1

2

，
a₂+a₅=2a_m，a₂+a₂q³=2a₂q^m-2．
∴

1

2

=2(-

1

2

)

m-2

3

，
∴m=8，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，是一道綜合題．