Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=（x-2）lnx．給出下列命題：
①當x＜0時，f（x）=（x+2）ln（-x）；
②函數(shù)f（x）有四個零點；
③f（x）＞0的解集為（-2，0）∪（2，+∞）；
④任意的x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，f（-x）=-f（x），加以判斷．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵x＞0時，f（x）=（x-2）lnx
∴當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=（-x-2）ln（-x）=-f（x）
即f（x）=（x+2）ln（-x），
∴f（x）=

(x-2)lnx， x＞0 (x+2)ln(-x)，x＜0

故①正確，
當f（x）=0時，x=±2，或x=±1
∴函數(shù)f（x）有4個零點，
故②正確
f（x）＞0的解集是（-2，-1）∪（0，1）∪（2，+∞）
故③錯誤
∵任意的x₁，x₂∈R，設(shè)x1=e2，x2=-e2，
則|f（x₁）-f（x₂）|=|（e²-2）lne²-（-e²+2）lne²|=|4（e²-2）|＞2，
故④錯誤，
故答案為：①②．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求法，零點的求法，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題目．本題也可以利用繪畫函數(shù)圖象，通過圖象得到結(jié)論．