Question

【題目】已知向量，，設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）在（1）的條件下，當時，函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求解出函數(shù)，利用函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得其單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求出函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)有且只有一個零點，利用其單調(diào)性求解求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

解：向量，，

（1）∵函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，

∴，解得：，∵，∴，

∴，由，

解得：，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

（2）由（1）知，∵，

∴，

∴，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；

，即時，函數(shù)單調(diào)遞減．

又，

∴當或時函數(shù)有且只有一個零點．

即或，

所以滿足條件的．