Question

數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，且滿足Sn=

3

2

bn-n (n∈N*)，若數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

) (n≥2，n∈N*)
（1）求b₁，b₂及b_n；
（2）證明

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)；
（3）求證：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3(n∈N*)．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=

3

2

b_n-n，得S_n-1=

3

2

b_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*，所以b_n=3b_n-1+2，由此可知b_n=3ⁿ-1；
（2）由條件可得

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

①，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

②，②-①即可得出結(jié)論；
（3）左邊=4（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），再利用放縮法，即可證明．

解答： （1）解：因為S_n=

3

2

b_n-n，所以S_n-1=

3

2

b_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*
兩式相減得b_n=3b_n-1+2
所以b_n+1=3（b_n-1+1），n≥2，n∈N^*
因為S₁=

3

2

b₁-1，所以b₁=2，b₂=8．
又因為b₁+1=3，所以{b_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列
所以b_n+1=3ⁿ，所以b_n=3ⁿ-1．
（2）證明：

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

①，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

②，
②-①得

an+1

bn+1

-

an

bn

=

1

bn

，∴

an+1

bn-1

=

an+1

bn

，∴

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)；
（3）證明：左邊=

a1+1

a1

•

a2+1

a2

•…•

an+1

an

=

a1+1

a1a2

•

b2

b3

•…•

bn

bn+1

•a_n+1
=

a1+1

a1

•

b2

a2

•…•

an+1

bn+1

=4（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），
∵

1

3n-1

＜

3n+1

(3n-1)(3n+1-1)

=

3

2

（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2

+

1

8

+…+

1

3n-1

＜

3

2

（

1

2

-

1

3n+1-1

）＜

3

4

，
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3(n∈N*)．

點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用和不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題時要認真審題，仔細解答．