Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx，1），$\overrightarrow{n}$=（2cosωx，-$\sqrt{3}$）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（2）由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得最值，進而得到所求值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
因為T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）．
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由（1）可知，f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{12}$]上單調(diào)遞增，
在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞減，且一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{12}$，
f（x）最大值為f（$\frac{π}{12}$）=2，最小值為f（-$\frac{π}{4}$）=-1，
所以f（x）∈[-1，2]，即f（x）的值域是[-1，2]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的恒等變換，考查正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性，以及值域的運用，考查運算能力，屬于中檔題．