Question

若函數(shù)f（x）=xlnx-a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[0，

  1

  e

  ]
• B、（-

  1

  e

  ，

  1

  e

  ）
• C、（0，

  1

  e

  ]
• D、（-

  1

  e

  ，0）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)零點的定義，由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，
設(shè)g（x）=xlnx，
則g′（x）=lnx+1，
由g′（x）=lnx+1＞0得x＞

1

e

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由g′（x）=lnx+1＜0得0＜x＜

1

e

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=

1

e

時，函數(shù)g（x）取得極小值g（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
當(dāng)x→0時，g（x）→0，
∴要使函數(shù)f（x）=xlnx-a有兩個零點，即方程xlnx=a有兩個不同的根，
即函數(shù)g（x）和y=a有兩個不同的交點，
則-

1

e

＜a＜0，
故選：D

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．