Question

14．對任意的實數(shù)m，直線y=mx+n-1與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，則n的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
• C． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• D． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4m²）x²+8m（n-1）x+4（n-1）²-1=0，由于直線y=mx+n-1與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1+4m²）x²+8m（n-1）x+4（n-1）²-1=0，
∵直線y=mx+n-1與橢圓x²+4y²=1恒有公共點，
∴△=64m²（n-1）²-4（1+4m²）[4（n-1）²-1]≥0，
化為：4n²-8n+3≤4m²，
由于對于任意的實數(shù)m上式恒成立，
∴4n²-8n+3≤0，
解得$\frac{1}{2}≤n≤\frac{3}{2}$．
∴n的取值范圍是$[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$．
故選：A．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．