Question

某地區(qū)試行高考自主招生考試改革：在高中三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試通過(guò)與否相互獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒(méi)有通過(guò)測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（1）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；
（2）求該生參加考試次數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)“該生考上大學(xué)”的事件為A，其對(duì)立事件為

.

A

：“該生未能考上大學(xué)”，則

.

A

包含前4次中過(guò)1次且第5次未能過(guò)、前4次均未能通過(guò)，兩種情況互斥，由此能求出該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（2）由題意可知，X可取2、3、4、5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的期望．

解答： 解：（1）設(shè)“該生考上大學(xué)”的事件為A，
其對(duì)立事件為

.

A

：“該生未能考上大學(xué)”，
則

.

A

包含前4次中過(guò)1次且第5次未能過(guò)、前4次均未能通過(guò)，兩種情況互斥．…（2分）
∴P（

.

A

）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

112

243

，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（2）由題意可知，X可取2、3、4、5，
則P（X=2）=（

1

3

）²=

1

9

；P（X=3）=

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)(

1

3

)=

4

27

；
P（X=4）=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2(

1

3

)+(

2

3

)4=

28

81

；P（X=5）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

．…（10分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	1 9	4 27	28 81	32 81

∴X的期望為：E（X）=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

28

81

+5×

32

81

=

326

81

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．