Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（1）證明：BN⊥平面C₁NB₁；
（2）求二面角C-NB₁-B的正切值的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BN⊥平面C₁NB₁，只需證明BN⊥B₁C₁，BN⊥B₁N即可；
（2）證明∠CNB為所求二面角的平面角，在Rt△BCN中，可求二面角C-NB₁-B的正切值的大小．

解答： （1）證明：據(jù)題意易得B₁C₁⊥平面ABB₁N，
∴BN⊥B₁C₁，
∵BN=4

2

，BB₁=8，NB₁=4

2

，
∴BN⊥B₁N，
∵B₁C₁∩B₁N=B₁，
∴BN⊥平面C₁NB₁；
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁N，BN⊥B₁N，
∴CN⊥B₁N，
∴∠CNB為所求二面角的平面角．
在Rt△BCN中，tan∠CNB=

4

4 2

=

2

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運用線面垂直的判定定理，正確作出面面角．