Question

函數(shù)y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m、n＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用a⁰=1可得函數(shù)y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（-1，-1），進(jìn)而得到m+n=1，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：令x=-1，則y=a⁰-2=-1，
∴函數(shù)y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（-1，-1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，-m-n+1=0，即m+n=1．
又m、n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=（m+n）(

1

m

+

2

n

)=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m • 2m n

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=

2

m=2-

2

時取等號．
∴

1

m

+

2

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．