Question

焦點(diǎn)為F的拋物線y²=4x上有三點(diǎn)A、B、C滿足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差數(shù)列．則直線AC的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用△ABC的重心是F，可得y₁+y₂+y₃=0，x₁+x₂+x₃=3，|FA|、|FB|、|FC|成等差數(shù)列，可求B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AC的斜率，從而可得直線AC的方程．

解答： 解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（1，0），△ABC的重心是F
∴

1

3

（x₁+x₂+x₃）=1，y₁+y₂+y₃=0，可得x₁+x₂+x₃=3，
∵|FA|、|FB|、|FC|成等差數(shù)列，
∴2|FB|=|FA|+|FC|，
∴2（x₂+1）=x₁+1+x₃+1，
∴2x₂=x₁+x₃，
∴x₂=1，
∴y₂=±2，
∴y₁+y₃=±2，
∴k_AC=

y3-y1

x3-x1

=

4

y1+y3

=±2，
設(shè)直線AC的方程是y=2x+b，代入y²=4x可得4x²+（4b-4）x+b²=0，
∴x₁+x₃=-b+1=2
∴b=-1，
同理直線AC的方程是y=-2x+b，代入y²=4x，可得b=-1，
∴直線AC的方程是2x±y-1=0．
故答案為：2x±y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查拋物線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定直線AC的斜率是關(guān)鍵．