Question

如圖所示，已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A為橢圓的左頂點(diǎn)，B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=30°，則橢圓的離心率等于（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先利用橢圓的對稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)（-

a

2

，y），C（

a

2

，y），從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=

3 2 b

a 2

=

3

3

，求得a=3b，最后根據(jù)a²=c²+b²得出離心率．

解答： 解：∵AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形
∴BC∥OA，
B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)
∴B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對稱的．
由題知：OA=a
四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a
可設(shè)B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y）
代入橢圓方程解得：|y|=

3

2b

設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，∵∠OAB=30°，四邊形OABC為平行四邊形
∴∠COD=30°
對C點(diǎn)：tan30°=

3 2 b

a 2

=

3

3

解得：a=3b
根據(jù)：a²=c²+b²
得：a²=c²+

a2

9

∴e²=

8

9

∴e=

2 2

3

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的對稱性以及簡單性質(zhì)，由橢圓的對稱性求出B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)而得到a=3b是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．