Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值．
（2）證明：對任意的實數(shù)b，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,函數(shù)圖象的作法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)y=log₄（4^x+1）-x，分析出函數(shù)的單調(diào)性及值域，根據(jù)函數(shù)零點的判定方法，我們易確定b取不同值時，函數(shù)零點個數(shù)，進而得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
∵log₄（4^-x+1）=log₄（

4x+1

4x

）=log₄（4^x+1）-log₄4^x=log₄（4^x+1）-x，
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx，
即2k+1=0
∴k=-

1

2

證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當b＞0時，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b有唯一的零點，此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線有一個交點，
當b≤0時，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b沒有零點，此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點
對任意的實數(shù)b，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點．

點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個函數(shù)的難點，屬于難題