Question

4．已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|
（1）化簡f（x）；
（2）試確定a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）討論x從而可去掉絕對值號，便可化簡f（x）；
（2）可以看出f（x）=x²-2ax和f（x）=-x²+2ax的對稱軸都為x=a，可以畫出a＞0，a=0，和a＜0時的函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象便可得出要使得f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，需2a≤2，這樣便可得出a的取值范圍；
（3）可結(jié)合圖象，討論a：分2a=2，1＜2a＜2，和2a≤1三種情況，然后可結(jié)合圖象，比較端點(diǎn)f（1），f（2）的大小，以及根據(jù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性便可求出每種情況下函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值g（a）．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax}&{x≥2a}\\{-{x}^{2}+2ax}&{x＜2a}\end{array}\right.$；
（2）x≥2a時，f（x）=x²-2ax，f（x）的對稱軸為x=a；
x＜2a時，f（x）=-x²+2ax，f（x）的對稱軸為x=a，a＞0時f（x）的圖象如下所示：

∴要使f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，則：0＜2a≤2；
∴0＜a≤1；
可看出當(dāng)a≤0時，顯然滿足f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴a的取值范圍為（-∞，1]；
（3）1）若2a=2，即a=1時，g（a）=f（1）=2a-1；
2）若1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}＜a＜1$時，f（1）=2a-1，f（2）=4-4a；
∴f（1）-f（2）=6a-5；
∴$①\frac{5}{6}≤a＜1$時，g（a）=f（1）=2a-1；
②$\frac{1}{2}＜a＜\frac{5}{6}$時，g（a）=f（2）=4-4a；
3）若2a≤1，即a$≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴g（a）=f（2）=4-4a；
∴綜上得，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{2a-1}&{\frac{5}{6}≤a≤1}\\{4-4a}&{a＜\frac{5}{6}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，結(jié)合分段函數(shù)圖象求分段函數(shù)最大值的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)在閉區(qū)間上最大值的方法．