Question

已知f（x）=2cos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）設(shè)α∈（0，

π

2

），β∈（

π

3

，

π

2

），f（α）=2，f（β）=

8

5

，求f（α+β）的值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)第一問確定出的f（x）解析式，由f（α）=2，f（β）=

8

5

分別求出α的度數(shù)，sin（β+

π

6

）以及cos（β+

π

6

）的值，所求式子變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cos²

x

2

-1=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
∴f（

π

3

）=2；
（2）∵f（α）=2sin（α+

π

6

）=2，
即sin（α+

π

6

）=1，
∵

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴α+

π

6

=

π

2

，
即α=

π

3

，
∵f（β）=2sin（β+

π

6

）=

8

5

，
即sin（β+

π

6

）=

4

5

＜

3

2

，
∴

π

6

＜β+

π

6

＜

π

2

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，
則f（α+β）=2sin（α+β+

π

6

）=2sin（

π

2

+β）=2cosβ=2cos[（β+

π

6

）-

π

6

]
=2cos（β+

π

6

）cos

π

6

+2sin（β+

π

6

）sin

π

6

=

3 3 +4

5

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．