Question

已知數列{a_n}前n項的和S_n=

1

2

n²+

1

2

n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知n∈N^*，證明：2a₁+4a₂+8a₃+…+2ⁿa_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

Answer 1

考點：數學歸納法,等差數列的通項公式,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由S_n=-2n²+3n，能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（2）用數學歸納法證明的步驟證明，驗證n=1時等式成立，然后假設n=k（k≥2，k∈N^*）時，等式成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

n²+

1

2

n，
∴a₁=S₁=

1

2

×12+

1

2

×1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n²+

1

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]
=n．
當n=1時，a₁=1，
∴a_n=n，
（2）證明：（數學歸納法）
①當n=1時，等式左邊=2a₁=2，右邊=（1-1）2¹⁺¹+2=2，等式成立．
②假設當n=k（k≥2，k∈N^*）等式也成立，即2a₁+4a₂+8a₃+…+2^ka_k=（k-1）2^k+1+2
當n=k+1時，2a₁+4a₂+…+2^ka_k+2^k+1a_k+1=（k-1）2^k+1+2+2^k+1（k+1）=2k2^k+1+2=（k+1-1）2^k+2+2，
這就是說，n=k+1時等式也成立．
由①②可知，對任意的n≥2，n∈N^*，原等式均成立．

點評：本題（1）考查數列的通項公式的求法，是基礎題．解題時要認真審題，注意公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，的靈活運用．（2）考查數學歸納法的證明步驟和方法，注意證明n=k+1時，必須用上假設，這是易錯點．