Question

【題目】如圖，三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，底面，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；是的中點(diǎn)

【解析】

（1）由底面，可得，再由，利用線面垂直的判定定理得到平面，根據(jù)平面，由面面垂直的判定定理證明即可.

（2）由兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的正方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，設(shè)，表示的坐標(biāo)，根據(jù)直線與平面所成的角的余弦值為，由求解.

（1）因?yàn)?/span>底面，底面，

所以，

易知，

所以平面，..

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面

（2）因?yàn)?/span>兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的正方向?yàn)?/span>軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，

，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，得，

不妨設(shè)，則，所以，

設(shè)，則，

由題知：，

即，

解得，

所以在線段上存在點(diǎn)為PB的中點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的余弦值為.