Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線B₁D₁上一點E滿足D₁E=1，則∠CDE的大小為

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角

分析：首先，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，寫出C（1，1，0），D（0，1，0），E（

2

2

，1-

2

2

，1）的坐標(biāo)，從而得到

DC

=（1，0，0），

DE

=（

2

2

，-

2

2

，1），然后，借助于空間中兩向量的夾角公式進行求解．

解答： 解：如圖示：

∵D₁E=1，
在直角三角形DD₁E中，
∵D₁D=D₁E=1，
∴DE=

2

，
以A為坐標(biāo)原點，以向量

AB

所在直線為x軸，以向量

AD

所在直線為軸，
以向量

AA1

所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則C（1，1，0），D（0，1，0），E（

2

2

，1-

2

2

，1），
∴

DC

=（1，0，0），

DE

=（

2

2

，-

2

2

，1），
∴cos∠CDE=

DC • DE

| DC || DE |

=

1× 2 2 +0+0

( 2 2 )2+(- 2 2 )2+1 •1

=

1

2

，
∵∠CDE∈[0，π]，
∴∠CDE=60°，
故答案為：60°．

點評：本題重點考查了空間直角坐標(biāo)系的建立，空間中角度的求解方法等知識，屬于中檔題．