Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁+a₂=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n²+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知的兩個(gè)等式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，根據(jù)題意求出方程組的解，得首項(xiàng)和公比的值，再寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通項(xiàng)公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化簡(jiǎn)得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，分別根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且a₁＞0，q＞0，則a_n=a₁q^n-1，
由已知得：

a1+a1q=2( 1 a1 + 1 a1q ) a1q2+a1q3=32( 1 a1q2 + 1 a1q3 )

，化簡(jiǎn)得

a12q=2 a12q5=32

，
又∵a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1），
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

1-4n

1-4

+

n(n-1)

2

=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．