Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若對(duì)任意給定的，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；（2）先求得當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根滿足即可.

解析：

（1） ，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，

此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）∵，∴.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，又時(shí)，，

∴對(duì)任意時(shí)，的取值范圍為.

∵方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則.

且滿足，

由解得，①

由，解得，②

由得，

令，易知單調(diào)遞增，

而，于是時(shí)，解得，③

綜上①②③得，，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為：.