Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，且f(x)極小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）設函數(shù)g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)•g(kx)≥k2-

1

k

(k＞0)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質易得，b=d=0，又f(x)極小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

易得，

a=-1 c=1

；
（2）求出其導函數(shù)，找到其極值點，畫出函數(shù)的大致圖象；通過討論m和極值點比較即可得到函數(shù)f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）先把所求函數(shù)轉化為函數(shù)F（x）=g（x）•g（kx）=（

1

x

-x）（

1

kx

-kx），通過討論求出函數(shù)的單調(diào)性，再結合所問問題即可求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

解得，b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵f(x)極小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

，
∴f′(-

3

3

)=0．
∴

a-c=0 - 3 9 a- 3 3 c=- 2 3 9

解得，

a=-1 c=1

．
故f（x）=-x³+x
（2）∵f'（x）=-3x²+1=-3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是減函數(shù)，在[-

3

3

，

3

3

]上是增函數(shù)
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當-1＜m≤0時，
f（x）_max=f（-1）=0；
當0＜m＜

3

3

時，f（x）_max=f（m）=-m³+m
當m≥

3

3

時，f（x）_max=f(

3

3

)=

2 3

9

．
故f（x）_max=

0，-1＜m≤0 -m2+m，0＜m＜ 3 3 2 3 9 ，m≥ 3 3

（3）∵g(x)=

1

x

-x，
∴函數(shù)F（x）=g（x）•g（kx）
=（

1

x

-x）（

1

kx

-kx）
=

1

kx2

+kx2-k-

1

k

，
∵k＞0，
∴

1

kx2

+kx2≥2，
∴F(x)min=2-k-

1

k

∴F(x)≥k2-

1

k

恒成立，
只須F(x)min=2-k-

1

k

≥k2-

1

k

∴-2≤k≤1，
又∵k＞0
∴0＜k≤1．

點評：本題主要考查了函數(shù)的極值點，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是對導數(shù)知識的綜合考查．