Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a，c∈N）滿足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=5得a+2+c=5，化為a+c=3．由6＜f（2）＜11，得到6＜4a+4+c＜11，聯(lián)立

a+c=3 6＜4a+c＜11

，解得a的取值范圍．利用a∈N，可得a，進而得到c，于是得到f（x）．
（2）①當(dāng)f（x）=x²+2x+2時，對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化為m≥

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立?m≥[

1

2

(x+1)2]min在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立．利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]上的最大值．
②當(dāng)f（x）=2x+3時，對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化為m≥x+1對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，此式等價于m≥（x+1）_max對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得出．

解答： 解：（1）由f（1）=5得a+2+c=5，化為a+c=3．由6＜f（2）＜11，得到6＜4a+4+c＜11，化為2＜4a+c＜7，把c=3-a代入得2＜4a+3-a＜7，解得-

1

3

＜a＜

4

3

．
∵a∈N，∴a=0或1．
當(dāng)a=0時，c=3；當(dāng)a=1時，c=2．
∴f（x）=2x+3或f（x）=x²+2x+2．
（2）①當(dāng)f（x）=x²+2x+2時，對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化為m≥

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立?m≥[

1

2

(x+1)2]min在x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立．
由g(

1

2

)=

9

8

，g(

3

2

)=

25

8

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知：y=

1

2

(x+1)2在x∈[

1

2

，

3

2

]上的最大值為

25

8

．
②當(dāng)f（x）=2x+3時，對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2m≤1成立，化為m≥x+1對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，此式等價于m≥（x+1）_max對任意實數(shù)x∈[

1

2

，

3

2

]恒成立，由一次函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x∈[

1

2

，

3

2

]時，可得（x+1）max=

3

2

+1=

5

2

．
∴m≥

5

2

．

點評：本題考查了求二次函數(shù)的解析式、恒成立問題通過分離參數(shù)等價轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一次函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值問題等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．