Question

【題目】已知，拋物線： 與拋物線： 異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為，且拋物線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）若直線與拋物線交于點(diǎn)， ，且，求；

（2）證明： 的面積與四邊形的面積之比為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及弦長公式列方程，解得p，再根據(jù)向量數(shù)量積求；（2）先求M坐標(biāo)，再求直線方程，進(jìn)而求得A,B,C坐標(biāo)，即得面積，最后作商.

試題解析：（1）解：由，消去得.

設(shè)， 的坐標(biāo)分別為， ，

則， .

∴ ，∵，∴.

∴ .

（2）證明：由，得或，則.

設(shè)直線： ，與聯(lián)立得.

由，得，∴.

設(shè)直線： ，與聯(lián)立得.

由，得，∴.

故直線： ，直線： ，

從而不難求得， ， ，

∴， ，∴的面積與四邊形的面積之比為（為定值）.