Question

在一次數(shù)學測驗后，班級學委王明對選答題的選題情況進行了統(tǒng)計，如下表：（單位：人）

	幾何證明選講	坐標系與參數(shù)方程	不等式選講	合計
男同學	12	4	6	22
女同學	0	8	12	20
合計	12	12	18	42

（Ⅰ）在統(tǒng)計結果中，如果把《幾何證明選講》和《坐標系與參數(shù)方程》稱為幾何類，把《不等式選講》稱為代數(shù)類，我們可以得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）

	幾何類	代數(shù)類	總計
男同學	16	6	22
女同學	8	12	20
總計	24	18	42

據(jù)此判斷是否有95%的把握認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關？
（Ⅱ）在原統(tǒng)計結果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學中隨機選出7名同學進行座談．已知學委王明和兩名數(shù)學科代表三人都在選做《不等式選講》的同學中．
①求在這名班級學委被選中的條件下，兩名數(shù)學科代表也被選中的概率；
②記抽到數(shù)學科代表的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考點：線性回歸方程,古典概型及其概率計算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到百分數(shù)．
（2）①令事件A為“這名學委被抽取到”；事件B為“兩名數(shù)學科代表被抽到”，利用條件概率求得兩名數(shù)學科代表也被選中的概率，或利用古典概型概率公式求解；
②記抽取到數(shù)學科代表的人數(shù)為X，由題X的可能值有0，1，2．依次求出相應的概率求分布列，再求期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值k=

42×(16×12-8×6)2

24×18×20×22

=

252

55

≈4.582＞3.841．…（2分）
所以，據(jù)此統(tǒng)計有95%的把握認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關．   …（4分）
（Ⅱ）由題可知在“不等式選講”的18位同學中，要選取3位同學．
①方法一：令事件A為“這名班級學委被抽到”；事件B為“兩名數(shù)學科代表被抽到”，則P（A∩B）=

C 3 3

C 3 18

，P（A）=

C 2 17

C 3 18

．
所以P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

=

C 3 3

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．…（7分）
方法二：令事件C為“在這名學委被抽到的條件下，兩名數(shù)學科代表也被抽到”，
則P（C）=

C 2 2

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．
②由題知X的可能值為0，1，2．
依題意P（X=0）=

C 3 16

C 3 18

=

35

51

；P（X=1）=

C 2 16 C 1 2

C 3 18

=

5

17

；P（X=2）=

C 1 16 C 2 2

C 3 18

=

1

51

．
從而X的分布列為

X	0	1	2
P	35 51	5 17	1 51

…（10分）
于是E（X）=0×

35

51

+1×

5

17

+2×

1

51

=

17

51

=

1

3

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列、獨立性檢驗的應用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，根據(jù)所給的臨界值表進行比較，本題是一個基礎題．