Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)（3，4）的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB面積的最小值是（　�。�

• A、12
• B、16
• C、24
• D、48

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，得出過(guò)A、B的直線方程，由直線過(guò)點(diǎn)M（3，4），得出

3

a

+

4

b

=1；利用基本不等式求出ab的最小值，即得△AOB面積的最小值．

解答： 解：畫出圖形，如圖所示，；
設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0；
∴過(guò)A、B的直線方程為

x

a

+

y

b

=1，
又直線過(guò)點(diǎn)M（3，4），
∴

3

a

+

4

b

=1；
∴1=

3

a

+

4

b

≥2

3×4 ab

，
即

1

4

≥

12

ab

，
即

1

48

≥

1

ab

，
∴ab≥48；
當(dāng)且僅當(dāng)

3

a

=

4

b

=

1

2

，
即a=6，b=8時(shí)取“=”；
∴S_△ABC=

1

2

ab≥

1

2

×48=24，
即△AOB面積的最小值是24．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線方程的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，求出直線方程滿足的條件，利用基本不等式求出結(jié)論，是綜合題．