Question

【題目】已知圓： 與定點(diǎn)， 為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸交點(diǎn)為，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)， ，若.證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義求軌跡方程；（2）如果與軸不垂直，可設(shè)，將代入得 由題設(shè)可知設(shè)則

利用，得到，從而明確直線過定點(diǎn).

試題解析：

（Ⅰ）由已知，則,

則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)的方程為： ，

由已知可得，則點(diǎn)的軌跡的方程為： ．

（Ⅱ）①如果與軸垂直，設(shè)，由題知，可得，又，

則 得或舍去，則

②如果與軸不垂直，可設(shè)，將代入得 由題設(shè)可知

設(shè)則

又，

由，

故，

得

即，則

解得或（舍去）

時(shí)，滿足，于是即，恒過定點(diǎn)

又，也過點(diǎn)

綜上可知，直線恒過定點(diǎn)，故得證.