Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和對稱中心
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，求出f（x）的解析式，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間以及對稱中心；
（2）由x的取值范圍求出2x+

π

6

的取值范圍，從而得出sin(2x+

π

6

)的取值范圍，即得f（x）的值域．

解答： 解：（1）根據(jù)題意得，f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)+1，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即 kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
令2x+

π

6

=kπ，解得：x=-

π

12

+

kπ

2

，（k∈Z），
∴函數(shù)y=f（x）的對稱中心為：（-

π

12

+

kπ

2

，1）（k∈Z）；
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-

1

2

×2+1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤2×1+1；
即0≤f（x）≤3；
∴函數(shù)y=f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域為[0，3]．

點評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是綜合題目．