Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，AB是半圓O：x²+y²=1（y≥0）的直徑，點(diǎn)C是半圓O上任一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使CP=CB，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度是（　　）

• A、2π
• B、

  2

  π
• C、π
• D、4

  2

  π

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓

分析：根據(jù)題意，△BCP是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得直線(xiàn)PA到PB的角為45°．由此P（x，y），利用直線(xiàn)的斜率公式建立關(guān)于x、y的關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到x²+（y-1）²=2，進(jìn)而利用圓的周長(zhǎng)公式算出點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度．

解答： 解：連結(jié)BP，根據(jù)題意可得△BCP是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直線(xiàn)PA到PB的角為45°，
設(shè)P（x，y），可得k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，
∴tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 • y x+1

=1，
化簡(jiǎn)得x²+（y-1）²=2．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+（y-1）²=2，
由已知y≥0可得k_PA=

y

x+1

＞0，
可知P點(diǎn)的軌跡是以（0，1）為圓心、半徑r=

2

的半圓，
可得軌跡的長(zhǎng)度是

1

2

×2πr=

2

π．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成圖形的長(zhǎng)度．著重考查了圓的性質(zhì)、直線(xiàn)的斜率公式和動(dòng)點(diǎn)的軌跡及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．