Question

某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生作為樣本，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如圖的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求圖中實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若該校高一年級共有學(xué)生500人，試估計該校高一年級在考試中成績不低于60分的人數(shù)；
（Ⅲ）若從樣本中數(shù)學(xué)成績在[40，50）與[90，100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，試用列舉法求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,古典概型及其概率計算公式

專題：圖表型,概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)頻率=小矩形的高×組距，利用數(shù)據(jù)的頻率之和為1求得a值；
（II）由頻率分布直方圖求得數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率，利用頻數(shù)=樣本容量×頻率計算；
（III）用列舉法寫出從第一組和第六組6名學(xué)生中選兩名學(xué)生的所有結(jié)果，從中找出數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的結(jié)果，利用個數(shù)之比求概率．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率之和為1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，
∴a=0.03；

（Ⅱ）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，
∴數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為500×0.85=425人        
（Ⅲ）數(shù)學(xué)成績在[40，50）的學(xué)生人數(shù)：40×0.005×10=2人，
數(shù)學(xué)成績在[50，60）的學(xué)生人數(shù)：40×0.01×10=4人，
設(shè)數(shù)學(xué)成績在[40，50）的學(xué)生為A，B；
數(shù)學(xué)成績在[90，100）的學(xué)生為a，b，c，d；
從6名學(xué)生中選兩名學(xué)生的結(jié)果有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．共15種；
其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的情況有：{A，B}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}共7種；
∴抽取的兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率為

7

15

．

點評：本題主要是考查了直方圖以及古典概型概率的計算，在頻率分布直方圖中頻率=小矩形的面積=小矩形的高×組距，用列舉法寫出所有基本事件是求古典概型概率的常用方法．．