Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點A(0，

2

)，線段FA的中點在拋物線上．設動直線l：y=kx+m與拋物線相切于點P，且與拋物線的準線相交于點Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．
（1）求p的值；
（2）試判斷圓C與x軸的位置關系；
（3）在坐標平面上是否存在定點M，使得圓C恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由拋物線方程求出焦點坐標，再由中點坐標公式求得FA的中點，由中點在拋物線上求得pD的值；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點坐標，進一步求得Q的坐標（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點C的坐標，求出圓心到x軸的距離，求出(

1

2

|PQ|)2，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號判斷圓C與x軸的位置關系；
（3）法一、假設平面內存在定點M滿足條件，設出M的坐標，結合（2）中求得的P，Q的坐標，求出向量

MP

，

MQ

的坐標，由

MP

•

MQ

=0恒成立求解點M的坐標．
法二、由（2）中求出的P，Q的坐標求出PQ的中點坐標，得到以PQ為直徑的圓的方程，利用方程對于任意實數(shù)k恒成立，系數(shù)為0列式求解x，y的值，從而得到頂點M的坐標．

解答： 解：（1）利用拋物線的定義得F(

p

2

，0)，
故線段FA的中點的坐標為(

p

4

，

2

2

)，代入方程y²=2px，
得2p×

p

4

=

1

2

，解得p=1；
（2）由（1）得拋物線的方程為y²=2x，從而拋物線的準線方程為x=-

1

2

，
由

y2=2x y=kx+m

，得方程

k

2

y2-y+m=0，
由直線與拋物線相切，得

k≠0 △=0

?

k≠0 m= 1 2k

，
且y=

1

k

，從而x=

1

2k2

，即P(

1

2k2

，

1

k

)，
由

y=kx+ 1 2k x=- 1 2

，解得Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，
∴PQ的中點C的坐標為C(

1-k2

4k2

，

3-k2

4k

)．
圓心C到x軸距離d2=(

3-k2

4k

)2，|PQ|2=(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2，
∵(

1

2

|PQ|)2-d2=

1

4

[(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2]-(

3-k2

4k

)2=(

3k2-1

4k2

)2
∵k≠0，
∴當k=±

3

3

時，(

1

2

|PQ|)2-d2=0，圓C與x軸相切，
當k≠±

3

3

時，(

1

2

|PQ|)2-d2＞0，圓C與x軸相交；
（3）方法一、假設平面內存在定點M滿足條件，由拋物線對稱性知點M在x軸上，
設點M坐標為M（x₁，0），
由（2）知，P(

1

2k2

，

1

k

)，Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，
∴

MP

=(

1

2k2

-x1，

1

k

)，

MQ

=(-

1

2

-x1，

1-k2

2k

)．
由

MP

•

MQ

=0得，(

1

2k2

-x1)(-

1

2

-x1)+

1

k

×

1-k2

2k

=0．
∴

x

2 1

-

1-k2

2k2

x1+

1-2k2

4k2

=0，即x1=

1

2

或x1=

1-2k2

2k2

．
∴平面上存在定點M(

1

2

，0)，使得圓C恒過點M．
證法二、由（2）知P(

1

2k2

，

1

k

)，Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，PQ的中點C的坐標為C(

1-k2

4k2

，

3-k2

4k

).|PQ|2=(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2．
∴圓C的方程為(x-

1-k2

4k2

)2+(y-

3-k2

4k

)2=

1

4

[(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2]．
整理得x2+

1

2

x+y2-

1

2

+

1

2k2

(

1

2

-x)-(

3-k2

2k

)y=0．
上式對任意k≠0均成立，
當且僅當

x2+ 1 2 x+y2- 1 2 =0 1 2 -x=0 y=0

，解得

x= 1 2 y=0

．
∴平面上存在定點M(

1

2

，0)，使得圓C恒過點M．

點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常見題型，是壓軸題．