Question

拋物線y²=4x的焦點為F，點A，B在拋物線上，且AF⊥BF，弦AB中點M在準(zhǔn)線l上的射影為M′，則

|MM′|

|AB|

的最大值為（　�。�

• A、2

  2

• B、

  2

• C、

  2 2

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件，結(jié)合拋物線定義，得到|MM′|=

a+b

2

，再由余弦定理和均值定理求出|AB|≥

2

2

（a+b）．由此能求出

|MM′|

|AB|

的最大值．

解答： 解：設(shè)AF=a，BF=b，由拋物線定義，知：2|MM′|=a+b，即|MM′|=

a+b

2

，
∵AF⊥BF，
∴由余弦定理，得：
|AB|²=a²+b²-2abcos90°=（a+b）²-2ab，
∵a+b≥2

ab

，
∴2ab≤

(a+b)2

2

，
∴|AB|²=（a+b）²-2ab≥

(a+b)2

2

，
∴|AB|≥

2

2

（a+b）．
∴

|MM′|

|AB|

的最大值=

a+b 2

2 2 (a+b)

=

2

2

．
故選：D．

點評：本題考查兩條線段比值的最大值的求法，解題時要熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)，注意余弦定理和均值定理的合理運用．