Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），則z=x-y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），可化為（x-3）²+（y-4）²＜2，設(shè)x=3+

2

cosα（α∈（-

π

2

，

π

2

）），y=4+

2

sinα，則z=x-y=-1+2cos（α+

π

4

），利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），可化為（x-3）²+（y-4）²＜2，為圓心（3，4），半徑為

2

，且在直線x=3右邊的圓的內(nèi)部．
設(shè)x=3+

2

cosα（α∈（-

π

2

，

π

2

）），y=4+

2

sinα，則
z=x-y=-1+2cos（α+

π

4

），
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴cos（α+

π

4

）∈（-

2

2

，1），
∴z∈（-1-

2

，1）．
故答案為：（-1-

2

，1）．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中等題．