Question

9．已知函數(shù)$f（x）=cosx•\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}+sinx•\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$
（1）當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）的解析式并求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（2）當(dāng)$x∈（π，\frac{3π}{2}）$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式．
（1）利用x的范圍，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心求解即可．
（2）求出相位的范圍，然后求解函數(shù)的值域即可．

解答 （本題滿分15分）
解：$f（x）=cosx•\sqrt{\frac{{{{（1+sinx）}^2}}}{{{{cos}^2}x}}}+sinx•\sqrt{\frac{{{{（1+cosx）}^2}}}{{{{sin}^2}x}}}$=$cosx•\frac{1+sinx}{{|{cosx}|}}+sinx•\frac{1+cosx}{{|{sinx}|}}$…（2分）
（1）當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，$f（x）=cosx•\frac{1+sinx}{cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{sinx}$
=1+sinx+1+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+2$…（4分）
令$x+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$，
即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$； …（6分）
令$x+\frac{π}{4}=kπ，k∈Z$，即$x=kπ-\frac{π}{4}，k∈Z$．
即函數(shù)的對(duì)稱中心為$（kπ-\frac{π}{4}，2），k∈Z$…（8分）
（2）當(dāng)$x∈（π，\frac{3π}{2}）$時(shí)，$f（x）=cosx•\frac{1+sinx}{-cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{-sinx}$
=-1-sinx-1-cosx=$-\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）-2$…（11分）
此時(shí)，$x+\frac{π}{4}∈（\frac{5}{4}π，\frac{7}{4}π）$，則$sin（x+\frac{π}{4}）∈[{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）∈[{-\sqrt{2}，-1}）$
則值域?yàn)?（{-1，\sqrt{2}-2}]$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角恒等變換，考查計(jì)算能力．