Question

7．已知函數f（x）=（m²+4m-5）x²+4（1-m）x+3．
（1）若對任意實數x，函數值恒大于零，求實數m的取值范圍；
（2）若函數有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對二次項系數進行討論，令f_min（x）＞0即可；
（2）因為函數有兩個不同的零點，所以f（x）為二次函數且△＞0，列出不等式組解出即可．

解答 解：（1）①若m²+4m-5=0，解得m=1或m=-5．
當m=1時，f（x）=3，符合題意；
當m=-5時，f（x）=24x+3，顯然值域為R，不符合題意．
②若m²+4m-5≠0則f（x）為二次函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+4m-5＞0}\\{[4（1-m）]^{2}-12（{m}^{2}+4m-5）＜0}\end{array}\right.$
解得1＜m＜19．
綜上所述：實數m的取值范圍是[1，19）．
（2）若函數有兩個不同的零點，則函數必為二次函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+4m-5≠0}\\{[4（1-m）]^{2}-12（{m}^{2}+4m-5）＞0}\end{array}\right.$，
解得m＜-1或m＞19且≠-5．
綜上所述，實數m的取值范圍是（-∞，-5）∪（-5，1）∪（19，+∞）．

點評 本題考查了二次函數的最值，零點與系數的關系和分類討論思想．