Question

f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數，且x＞0時，f′（x）cosx＜f（x）sinx，則不等式f（x）cosx＞0的解集是（　�。�

• A、[-3，0）
• B、[-3，-

  π

  2

  ）∪（0，

  π

  2

  ）
• C、[-3，-

  π

  2

  ）∪（

  π

  2

  ，3]
• D、（-

  π

  2

  ，0）∪（

  π

  2

  ，3]

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系，解不等式即可．

解答： 解：設F（x）=f（x）cosx，則F′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx，
∵x＞0時，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴x＞0時，F′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx＜0，
即函數F（x）單調遞減，
∵f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數，
∴F（x）=[f（x）cosx是定義在[-3，3]上的奇函數，且F（0）=[f（0）cos0=0，
∴f（x）cosx是定義在[-3，3]上的單調遞減，
則不等式f（x）cosx＞0等價為F（0）＞0，
即x＜0，
∵x∈[-3，3]，
∴x∈[-3，0）
故選：A

點評：本題主要考查不等式的解法，條件結合函數的單調性和導數之間的關系判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．