Question

19．圓C₁的方程為（x-1）²+y²=$\frac{4}{25}$，圓C₂的方程為（x-1-cosθ）²+（y-sinθ）²=$\frac{1}{25}$（θ∈R），過C₂上任意一點P作圓C₁的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N，則∠MPN的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判斷圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步利用特殊位置把結(jié)論轉(zhuǎn)化為解三角形問題，最后求出∠MPN的最大值．

解答 解：圓C₁的方程為（x-1）²+y²=$\frac{4}{25}$，圓心坐標(biāo)為：C₁（1，0）半徑r=$\frac{2}{5}$．
圓C₂的方程（x-1-cosθ）²+（y-sinθ）²=$\frac{1}{25}$，圓心坐標(biāo)為：C₂（1+cosθ，sinθ），半徑R=$\frac{1}{5}$．
由于cos²θ+sin²θ=1，|C₁C₂|＞R+r，
所以兩圓相離．
過C₂上任意一點P作圓C₁的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N，則要求∠MPN的最大值，
只需滿足：在圓C₂找到距離圓C₁最近點即可．
所以|PC₁|=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，|MC₁|=$\frac{2}{5}$．
在Rt△MPC₁中，根據(jù)|PC₁|=$\frac{4}{5}$，|MC₁|=$\frac{2}{5}$，解得：∠MPC₁=$\frac{π}{6}$，
所以：∠MPN=$\frac{π}{3}$，
即∠MPN的最大值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查的知識要點：圓與圓的位置關(guān)系，特殊位置出現(xiàn)相關(guān)的三角形知識，及角的最值問題．