Question

在xOy平面上，將雙曲線的一支

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）及其漸近線y=

4

3

x和直線y=0，y=4圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω．過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出Ω的體積為

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：規(guī)律型

分析：由已知中過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出Ω的體積．

解答： 解：在xOy平面上，將雙曲線的一支

x2

9

-

y2

16

=1(x＞0)及其漸近線y=

4

3

x和直線y=0，y=4圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．
則直線y=a與漸近線y=

4

3

x交于一點A（

3

4

a，a）點，與雙曲線的一支

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）交于B（

3

4

a2+16

，a）點，
記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω．
過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，
則截面面積S=π[(

3

4

a2+16

)2-(

3

4

a)2]=9π，
利用祖暅原理得Ω的體積相當于底面面積為9π高為4的圓柱的體積，
∴Ω的體積V=9π×4=36π，
故答案為：36π

點評：本題考查的知識點是類比推理，其中利用祖暅原理將不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化為底面面積為9π高為4的圓柱的體積，是解答的關(guān)鍵．